Bildung
Die Goldbachsche Vermutung
ist eine der bekanntesten Aussagen der Mathematik, die bis heute niemand beweisen konnte. Dabei ist sie einfach zu formulieren und zu verstehen. Sie besagt: Jede gerade Zahl $n$ größer als 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen $p$ und $q$ darstellen. Als Gleichung geschrieben: $$n = p + q$$ Beispiel: Die gerade Zahl 18 hat die beiden Zerlegungen 5 + 13 = 18 und 7 + 11 = 18. Es kann also auch mehr als eine Zerlegung geben, nach Christian Goldbach (1690 - 1764) jedoch mindestens eine, mit größeren Zahlen gibt es sogar deutlich mehr.
Experimente mit dem Goldbach-Automaten
Finden Sie mit der Voreinstellung alle Goldbach-Zerlegungen von 120. Die Maschine stellt die Ergebnisse numerisch und grafisch dar. Untersuchen Sie danach größere und auch kleinere Zahlen.
Der Automat hat noch weitere Modi. Er kann auch Zahlen in 3, 4 oder 5 Primzahl-Summanden zerlegen. Probieren Sie es aus.
Goldbach-Automat
Wählen Sie die Anzahl der Primzahl-Summanden (Modus) und modusabhängig die Zerlegungszahl.
Listenbereich
Es geht immer um die Zerlegung einer Zahl $n$ in eine Summe von Primzahlen. Man unterscheidet die Starke Goldbachsche Vermutung $n = p+q$ mit einer Zerlegung in zwei Primzahlen $p, q$ von der Schwachen Goldbachschen Vermutung $n = p+q+r$ mit einer Zerlegung in drei Primzahlen $p,q,r$.
Man versucht seit Jahrhunderten die Starke Vermutung zu beweisen, was bis heute trotz des Ansporns durch ein Preisgeld von einer Million US-Dollar nicht gelungen ist. Mithilfe eines Volunteer-Computing-Projekts von Tomás Oliveira e Silva ist die Gültigkeit der Vermutung für alle Zahlen bis $4\cdot 10^{18}$ bestätigt, was jedoch keinen Beweis darstellt.
Ein Beweis für die schwächere Vermutung, dass jede Zahl > 5 die Summe von drei Primzahlen ist, konnte im Jahr 2013 von dem peruanischen Mathematiker Harald Helfgott vorgelegt werden (2015 für die Annals of Mathematics Studies in Princeton akzeptiert - die offizielle Bestätigung steht immer noch aus). Es gibt aber starke Hinweise auf die Korrektheit dieses Beweises.
Sollte jemals die Starke Goldbachsche Vermutung bewiesen werden, folgte daraus sofort die Schwache Vermutung, denn jede ungerade Zahl $ u>=7$ kann als Summe $$u=(u-3)+3$$ geschrieben werden. Der erste gerade Summand $(u-3)$ könnte nämlich nach der Starken Vermutung als $p + q$ mit Primzahlen $p, q$ geschrieben werden, und damit hätte man eine Zerlegung $$u=p+q+3$$ mit drei Primzahlen $p, q$ und 3 gefunden
Eine Alternative zum universellen Goldbach-Automaten von oben ist das sehr anschauliche und dynamische Goldbach-Dreieck, hier zum Ausprobieren:
Noch mehr zum Thema - reichhaltig illustriert - findet man auf der Seite 2, wo es um die Anzahl und die Verteilung der Zerlegungen geht.