Wir betrachten die Martin-Attraktoren (Seite 2 nicht verpassen!), die auch als Hopalong-Fraktale bekannt sind. Es sind sogenannte Orbit-Fraktale, die wieder durch einfache zweidimensionale Iterationsprozesse entstehen. Der Name Hopalong ist davon abgeleitet, dass die Bilder aus Punkten aufgebaut sind, die sich aus einer hüpfenden Bewegung rund um den Startpunkt im Zentrum ergeben. Der Entdecker der Hopalong-Fraktale ist Barry Martin von der Aston University in Birmingham. Im Jahre 1986 hat A.K. Dewdney die Hopalongs in der Zeitschrift "Scientific American" vorgestellt und in Deutschland wurden sie durch "Spektrum der Wissenschaft" populär.
Der Algorithmus
Ein Bild wird abhängig von drei Parametern a, b, und c berechnet. Dewdney notiert sinngemäß dieses Programm:
INPUT num
INPUT a, b, c
x = 0
y = 0
PLOT(x, y)
FOR i = 1 TO num
xx = y - SIGN(x) * [ABS(b*x - c)]^0.5
yy = a - x
x = xx
y = yy
ABS ist die Absolutwert-Funktion. SIGN(x) ist das gleiche wie x/ABS(x). Falls x>0 ist, gilt SIGN(x) = 1, falls x<0 ist, SIGN(x) = −1 und für x = 0 ist das Ergebnis von SIGN(x) ebenfalls 0.
Nach einer bestimmten Punktezahl wird die Farbe gewechselt. Das Bild verändert sich meist nicht, wenn man den Ausgangspunkt ändert. Dagegen tritt der Schmetterlingseffekt auf, Wenn man die Parameter nur ein wenig ändert. Es entsteht ein neues Bild, das sich deutlich vom Vorgänger unterscheidet.
Screenshot des Hopalong-Programms
Das Programm
Eine moderne Version dieses Programms steht mit hopalong1.zip als Download zur Verfügung. Die Dateien für die Bilder der Galerie sind mit dabei.
Danksagung
Teile der Iterationsabteilungen wurden in Zusammenarbeit mit Henning Kopp erstellt.