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Hyperbolische Ornamente

Hier folgt nun der interaktive und theoretische Teil..

Hyperbolisches Applet

Grundkonstruktion ist ein hyperbolisches Dreiecks ABC mit den Winkeln α, β und γ, die durch die natürlichen Zahlen k, n und m als Bruchteile von 180° gegeben werden.

Hyperbolische Konstruktion

α = 180°/k,   β = 180°/n und
γ = 180°/m mit der Bedingung
1/k + 1/m + 1/n < 1

Das Dreieck hat zwei gerade Seiten sowie eine mit Kreiskrümmung. Man legt durch Verschieben der beiden gelben Kringel die Punkte A, B fest. Die Restkonstruktion nimmt das Applet vor. C ist durch die Winkel und durch AB bestimmt. Die Winkel β und γ werden jeweils zwischen den geraden Schenkeln und den Kreistangenten gemessen. Die Winkelsumme im hyperbolischen Dreieck ist kleiner als 180°.

Da die Radiuslinien senkrecht zum Kreisrand des Kreises um A stehen müssen, ist mit dem Dreieck auch der Winkel δ und die Lage des Mittelpunktes M für den Konstruktionskreis bekannt. Der blaue fixierte Kreis schneidet den Konstruktionskreis orthogonal. Sind die Winkel des hyperbolischen Dreiecks durch die natürlichen Zahlen k, m, und n festgelegt und werden die links notierten Bedingungen eingehalten, ergeben sich folgende interessante Konsequenzen:

Bedienung: Wählen Sie k, n, m nach den Bedingungen. Ist das Bild zu dünn, wiederholen Sie das Zeichnen oder erhöhen die Werte für Dots und Iterations. Die Generatoren erlauben weitere Experimente. Jede kurze Folge mit den Ziffern 1, 2 und 3 ist zulässig. Die Ziffer 1 steht für die Spiegelung an der Strecke AB, die Ziffer 2 sorgt für eine an AC und die Ziffer 3 ruft die Spiegelung am Kreisbogen BC hervor. Mit der Vorgabe werden genau diese Spiegelungen ausgeführt. Eine Ziffernfolge bedeutet eine Kombination: 13 bedeutet z.B. zunächst eine Spiegelung an der Geraden AB bevor am Kreisbogen BC gespiegelt und ein neuer Bildpunkt gezeichnet wird. Man beachte, dass jede Spiegelung wie z.B. 22 keinen neuen Bildpunkt hervorbringt, da die erste Spiegelung an AC durch die zweite Spiegelung an AC gerade wieder aufgehoben wird.

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